第一章

算法的复杂性分析

时间复杂性

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)= O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

推导大O阶方法

如何分析一个算法的时间复杂度呢？即如何推导大O阶呢？

用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的最后结果就是大O阶。

例题：

常数阶

int sum = 0, n = 100;
printf(“I love you.com\n”);
printf(“I love you.com\n”);
printf(“I love you.com\n”);
printf(“I love you.com\n”);
printf(“I love you.com\n”);
printf(“I love you.com\n”);
sum = (1+n)*n/2;

第一条就说明了所有加法常数给他个O(1)即可

线性阶

一般含有非嵌套循环涉及线性阶，线性阶就是随着问题规模n的扩大，对应计算次数呈直线增长.
这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码需要执行n次。

int i , n = 100, sum = 0;
for( i=0; i < n; i++ )
{
    sum = sum + i;
}

平方阶
n等于100，也就是说外层循环每执行一次，内层循环就执行100次，那总共程序想要从这两个循环出来，需要执行100*100次，也就是n的平方。所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。
```
int i, j, n = 100;
for( i=0; i < n; i++ )
{
  for( j=0; j < n; j++ )
  {
      printf(“I love FishC.com\n”);
  }
}
```
对数阶
由于每次i*2之后，就距离n更近一步，假设有x个2相乘后大于或等于n，则会退出循环。
于是由2^x = n得到x = log(2)n，所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。
```
int i = 1, n = 100;
while( i < n )
{
  i = i * 2;
}
```
函数调用的时间复杂度分析

空间复杂性

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
通常，我们都是用“时间复杂度”来指运行时间的需求，是用“空间复杂度”指空间需求。
当直接要让我们求“复杂度”时，通常指的是时间复杂度。
显然对时间复杂度的追求更是属于算法的潮流！
渐近分析中的5个符号
渐近精确界记号：ΘΘ（big-theta）
渐近上界记号：OO(big-oh)
渐近下界记号：ΩΩ(big-omege)
非渐近紧确上界：o(小-oh)
非渐近紧确下界：ω(小-omege)
第二章递归与分治策略
概念